Nombres hyperréels et "réalité"

Quel peut être le rapport avec la ``réalité'' de nombres infiniment grands, de nombres infiniments petits? Est-il pertinent de considérer de pareils nombres si on envisage des applications concrètes? De telles questions méritent réflexion et réponse. Mais en fait de telles questions ne peuvent être réservées aux nombres hyperréels, on peut également les poser à propos des nombres réels et même des nombres entiers. En effet il est très facile d'écrire un nombre naturel qui ne pourrait avoir aucune interprétation dans le monde qui nous entoure, il suffit de considérer le nombre $10^1234$ qui est estimé actuellement supérieur au nombre de particules composant l'univers. On pourrait également considérer un nombre rationnel >0 qui serait inférieur à n'importe quelle mesure physique. En fait il ne s'agit pas que les nombres utilisés au niveau mathématique s'identifient à une réalité concrète mais plutôt qu'ils puissent participer à une modélisation efficace et fiable de situations et phénomènes du monde réel. Les Mathématiques n'ont pas pour fonction de se confondre avec ce que nous percevons être la réalité mais sont notamment là pour permettre de modéliser de façon efficace les phénomèmes du monde réel. Et précisément on peut trouver à ce niveau plusieurs avantages aux nombre hyperréels, ils vont notamment nous permettre de prendre en compte facilement la notion d'ordre de grandeur et cela directement au niveau des nombres utilisés. Ainsi, dans un contexte donné, on pourrait distinguer trois catégories de quantités: celles qui sont mesurables par les moyens mis à disposition et qui sont mesurées comme non nulles, ce seraient ces quantités qui se représenteraient par des nombres appréciables, celles qui nous apparaissent comme nulles, elles seraient représentées par des nombres infiniment petits, celles qui sont trop grandes que pour être mesurées, elles seraient alors représentées par des infiniment grands. En général une mesure n'est pas exacte; la différence entre le résultat de la mesure et la valeur exacte nous apparaît comme nulle et ces deux nombres pourraient donc être interprétés comme infiniment proches. De la sorte le résultat de la mesure pourrait être interprété comme la partie standard de la valeur exacte. Le nombre 10^1234 déjà rencontré plus haut est au niveau mathématique un nombre naturel comme un autre, mais concrètement il se comporte comme un infiniment grand! Ainsi, comme pour les infiniment grands théoriques, il est matériellement impossible à un être humain de l'atteindre au départ de 0 en itérant l'opération +1. En fait on peut dire que tout contexte concret, doté de ses moyens de mesure précis, a ses propres ``infiniment petits'', ses propres ``infiniment grands'', ses propres ``appréciables''. On ne peut réduire les hyperréels à ces considérations. Toutefois les ordres de grandeur sont présents dans chaque situation concrète, il est utile de pouvoir rencontrer ces notions au mieux et les nombres hyperréels conviennent particulièrementont bien pour cela.